什麼是混合整數規劃？
混合整數規劃 (MIP) 是一種數學最佳化技術，可解決包含連續變數（可取任意數值，包括小數與分數）、離散變數（必須為可計數的整數）以及二元變數（僅能為 0 或 1）的問題。
為何混合整數規劃很實用？
混合整數規劃 (MIP) 是一種強大的工具，廣泛應用於運籌學與決策科學，可解決複雜的最佳化問題。適用於具有約束條件、資源有限以及需做出離散決策的情境。
對於業務決策者與資料科學家而言，MIP 提供一種結構化方法，能針對真實世界的挑戰 (如資源配置、生產規劃、人力資源排程和設施選址等) 做出最佳決策。
對於開發人員而言，MIP 模型提供一種系統化且結構化的最佳化方法，可將真實世界的限制、目標和決策轉化為程式碼。如此便可消除模糊性，並確保可解釋的 AI。MIP 具備擴充性和穩健性，可讓開發人員以高精準度及速度解決大規模的複雜問題。此外，其模組化設計能確保模型具備可重複使用性與可解釋性，輕鬆適應各種應用情境—無論是目前的物流最佳化，或是未來的人力規劃。這種方法能讓企業快速且準確地做出以數據為導向的最佳決策。
採用 MIP 後，企業便可：
- 確保最佳決策：MIP 不僅提供「單一解決方案」，還可確保在既定限制條件下提供最理想的解決方案，使決策以數據為導向且高效。
- 提升資源利用率：從將運輸成本降至最低，到產量最大化，MIP 可確保時間、金錢和人力等資源得到最佳分配，讓企業事半功倍。
- 系統性評估權衡：MIP 可大規模進行情境分析，協助企業評估關鍵的取捨（如成本與速度、人力與服務水準），而非仰賴於經驗法則或直覺判斷。
- 在限制條件下提升韌性：在瞬息萬變的商業環境中，MIP 模型可根據最新資料進行更新，協助企業因應各種突發狀況 (如供應鏈問題、人力短缺或法規變更)，並尋找最佳解決方案。
當企業使用 MIP 時，可透過更快速且有效的資料導向決策來最佳化流程並提升獲利能力。對開發人員而言，MIP 提供一種強大的架構，用以精確且系統地表達與解決複雜的決策問題。對企業而言，MIP 是一項策略工具，能將複雜情境轉化為清晰的決策依據，使其在真實世界的限制下做出最佳化決策—無論是預算分配、流程設計或物流最佳化。MIP 可確保每項決策都能達到最理想成果。
混合整數規劃如何運作？
MIP 是一種包含兩大步驟的過程：問題建模和問題求解，可使企業和開發人員在各種複雜情境中最佳化決策。
圖 1. 混合整數規劃 (Mixed Integer Programming, MIP) 解決問題的步驟
問題建模
第一步，使用者—如開發人員、分析師或資料科學家—透過辨識關鍵元件，並以數學方式表達，來建構實際問題。此流程稱為問題建模。
關鍵模型元件如下：
- 決策變數：代表需要做出的抉擇。例如：
- 二進位：0 或 1 決策（例如，是否開設設施）
- 離散：可計算值（例如，生產的產品數量）
- 連續：任何實際值（例如，使用的原資料量）
- 目標功能：此為最佳化的目標。目標可能如下：
- 單一目標：
- 最大化：例如，將利潤或營收最大化
- 最小化：例如，最小化成本或時間
- 多目標：
- 優先化：某個目標比其他目標更重要。
- 組合：將更多目標合併為單一數值目標。
- 表示為限制：目標定義為限制。
- 單一目標：
- 限制：此為決策變數必須運作的範圍。限制條件可以是：
- 邏輯：例如，儲存項目的總數不得超過倉儲容量
- 物理：例如，材料或空間限制
- 容量限制：例如，工時或機器容量
- 政策驅動：例如，公司或監管規則
圖 2. 混合整數規劃 (MIP) 模型及其解決方案空間的範例：x 和 y 為決策變數，z 是目標函數。不等式構成限制邊界，並以線條表示。藍點表示滿足所有限制條件的可行 (有效) 解決方案，而綠點則表示將目標最大化的最佳方案。
解決問題
問題建模後，必須使用在解決方案空間中搜尋的演算法來解決，以找到最佳方案。
以下是解決 MIP 的典型方式：
- 模型編碼 / API 整合：
在對問題建模後，會使用支援的建模語言或 API 對模型加以編碼。常用的架構包括 AMPL、CVXPY、PuLP、Pyomo 和 SciPy。接著，該模型與求解器介面整合。 - 求解模型：
求解器透過標準格式 (例如 LP、MPS、NL) 或透過 solver.solve(model) 等 API 與編碼模型互動。求解器會執行幾個步驟。- 解析模型：瞭解問題結構
- 預先求解：運用線性鬆弛、限制強化與綁定傳播等技術，加以簡化問題
- 求解：應用分支定界法 (branch-and-bound)、切割平面法 (cutting planes) 和啟發式等演算法，有效瀏覽解決方案空間並高效求解模型
求解器的輸出包括：
- 最佳決策變數值：例如，生產數量或資源配置的最佳值
- 最佳目標函數值：例如，最佳利潤或最低成本
- 求解器狀態：例如，最佳、不可行、無界限
- 解釋：
找到解決方案後，使用者會透過分析結果 (例如，確定最佳路線或生產多少) 來解釋輸出。此外，使用者還可檢視對偶值、鬆弛變數，或解決多個情境，以評估不同的權衡與解決方案。 - 部署與自動化：
MIP 通常會整合至更大的決策系統，例如供應鏈規劃、勞動力配置或生產排程。該解決方案可部署在各種設定中：- 批次處理：按照預定間隔執行最佳化
- 互動式應用程式：為決策者提供即時最佳化支援
- 即時決策引擎：根據不斷變化的輸入內容 (例如物流或緊急服務) 提供自動化回應
用於混合整數規劃的常用演算法有哪些？
為了高效解決真實世界的問題，採用各種演算法，在管理限制和資源的同時，找到最佳解決方案。
其中一種技術是 MIP 模型的線性規劃 (LP) 鬆弛，其中放寬 (即移除) 整數變量的完整性需求。這可為最大化問題提供上界，或為最小化問題提供下界，並可與分支定界法結合使用，以引導尋找最適方案。
下表概述了 MIP 中最廣泛使用的一些演算法，說明其核心原理、典型應用情境，以及對提升 MIP 問題求解效率的影響。
| 演算法 | 說明 | 使用案例 / 影響 |
| 分支定界法 | 一種樹狀搜尋方法，將問題劃分為較小的子問題 (分支)，限制解空間 (solution space)，並剪除無潛力的分支。 | 透過更有效率地尋找可行解決方案，藉此解決大型 MIP 問題 |
| 分支與切割法 | 分支定界法的延伸，透過加入切割平面 (額外的約束條件) 來提升效率並縮小解空間 | 透過在流程的早期消除非最佳解決方案，協助加速解決 MIP 問題 |
| 切割平面法 | 一種加入額外約束的技術，以排除不包含最佳解的解空間區域，同時不影響可行方案 | 與其他方法如分支定界法搭配使用，以加快求解速度並減少計算時間 |
| 啟發式演算法 | 近似法或捷徑，可快速找出「足夠好」的方案，特別適用於求尋找完美解所需的運算成本過高情況 | 在時間或運算資源有限時，能快速取得近似最適方案，亦適用於進行快速的假設分析或即時調整原始模型 |
| 內部點方法 | 透過穿越可行區域內部 (而非如單純形法般沿著邊界)，來求解線性規劃問題的演算法 | 適合用於大規模問題，尤其是在有大量限制或變數的情況下 |
| 拉格朗日鬆弛法 | 將困難的約束條件放入目標函數中予以鬆弛，以簡化問題的技術 | 有效用於將複雜的 MIP 問題分解為一組較易獨立求解的子問題 |
| Simplex | 一種最佳化演算法，透過沿著可行區域邊界移動來尋找最適方案 | 主要用於 MIP 問題中的連續部分，並常作為 MIP 求解器中的子程序使用 |
混合整數規劃的應用有哪些？
MIP 廣泛應用於企業和非企業部門，可解決重要或關鍵的最佳化問題。該技術提供一種強大的架構，可用來制定涉及有限資源、複雜規則和離散選擇的決策。 MIP 有助於評估權衡並找出最佳且可解釋的解決方案，這在決策受多重因素限制時尤為關鍵。以下是企業和非企業使用案例的一些常見應用。
| 業務使用案例 | 說明 | 最佳化重點 | 相關產業 |
| 資源分配 | 將有限資源的分配最佳化，以最大化提升效率或降低成本 | 原材料分配、預算分配、人力分配 | 製造業、金融服務、醫療照護和生命科學以及零售業：將生產、投資、醫療人員和行銷策略的資源和預算分配最佳化 |
| 生產規劃 | 設計高效的生產時間表以滿足需求，同時將成本和資源使用降至最低 | 生產排程、庫存水準、設備利用率 | 製造業、汽車和食品飲料：最佳化生產計劃、減少停機時間，並根據需求波動調整生產 |
| 人力資源排程 | 為員工分配班次和任務，以滿足營運需求，並考慮勞動法規和員工偏好 | 排班、工作量平衡、勞動法法遵 | 零售、醫療照護與生命科學、物流和酒店業：將員工於尖峰時段、輪班和高需求時期的排程最佳化 |
| 路線最佳化 | 尋找最有效的運輸和配送路徑，同時將距離、時間和成本最小化 | 行程距離、燃料消耗、交付時間 | 物流與交通、公共交通、公共設施、緊急服務與電信：將送貨卡車、公共交通、維護人員和緊急回應團隊的路線規劃最佳化 |
| 設施配置 | 決定設施的最佳配置位置，以降低成本並最大化可及性 | 設施選址、與客戶的距離、供應鏈效率 | 零售、物流、醫療照護和生命科學以及製造業：最佳化設施配置位置，以提升客戶可及性、降低運送成本並提升服務效率 |
| 非企業使用案例 | 說明 | 最佳化重點 | 相關領域 |
| 野生棲息地保育 | 規劃及最佳化資源與土地分配，以保護和保育野生動物棲息地 | 資源配置、土地使用、棲息地保護 | 保育生物學：保護瀕危物種並最佳化資源使用 |
| 災難回應與緊急資源配置 | 在災害情境中將資源分配最佳化，確保快速且有效的緊急回應 | 資源分配、回應時間、部署效率 | 緊急管理：在災難情境 (例如，野火、地震) 中協調資源 |
| 學校營運方向調整與學生偏好 | 將學生分配至學校，同時平衡偏好、容量和其他限制 | 學校作業、學生偏好、容量限制 | 教育：根據各種因素 (例如鄰近性、需求) 將學生在學校的分配最佳化 |
| 器官配對與冷鏈路徑規劃 | 最佳化器官分配與冷鏈運輸路徑，用於器官運輸 | 資源分配、路線最佳化、時間敏感性 | 醫療照護與物流：最佳化器官配對系統，並確保即時且具溫控的運輸 |
| 邏輯型益智問題 | 解決需滿足各種約束條件的益智題或問題，如數獨或其他限制滿足問題 | 根據邏輯限制來配置數字或項目 | 娛樂型數學：解決涉及多重限制的邏輯難題，例如數獨 |
混合整數規劃有哪些挑戰？
雖然混合整數規劃 (MIP) 提供強大的最佳化能力，但其在技術、實作和採用方面仍面臨諸多挑戰。以下是將 MIP 整合至業務流程時可能出現的主要挑戰，以及可能催生創新和進化的潛在領域：
技術挑戰
- NP-Hard 問題：許多 MIP 問題屬於 NP-Hard 類型，表示這類問題在運算上非常困難，需要長時間才能解決，特別是對於大型資料集而言。
- 求解器和模型敏感性：解決方案的品質取決於所選的求解器和模型公式。雖然選擇合適的求解器和準確的公式至關重要，但也務必注意，MIP 模型本質上只是對真實世界問題的抽象化。並非所有業務規則皆可完整建模，可能導致最佳解決方案與實際預期的落差。
- 調整和啟發式演算法：對於大規模應用程式，MIP 通常需要微調和運用啟發式演算法，以提高效率並在合理的時間範圍內解決問題。
實施上的挑戰
- 求解器選擇：根據業務需求、可用資源和理想效能，選擇合適的求解器 (例如，開源版本或商業版本) 可能相當複雜。這項決定會影響成本和解決方案的品質。
- 整合：將 MIP 模型整合至現有資料流程或生產系統可能具有技術挑戰性，尤其是在將最佳化模型與營運工作流程保持一致時。
- 建模複雜性：建構 MIP 模型需要具備領域知識 (理解業務情境) 和數學專業知識，才能正確擷取到限制、變數和目標。
採用挑戰
- 高授權成本：商業求解器通常會帶來高額的授權費用，這可能成為小型公司或預算有限的公司採用該技術的主要障礙。
- 專業知識最佳化：成功導入 MPI 需仰賴最佳化專業知識，這通常意味著組織必須投入資源進行相關培訓，或聘用熟悉 MIP 複雜性的專業人士。
- 解釋結果：對不熟悉最佳化方法的相關人員溝通 MIP 最佳化結果通常頗具挑戰性。提供符合業務目標的清晰、可操作解析非常重要。